দ্বিপদী বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক উদ্ভাবন

একাদশ- দ্বাদশ শ্রেণি - পরিসংখ্যান - পরিসংখ্যান ২য় পত্র | | NCTB BOOK

দ্বিপদী বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক উদ্ভাবন

দ্বিপদী বিন্যাসের সম্ভাবনা নির্ধারণের অপেক্ষক (Formula) উদ্ভাবন বা গাণিতিক প্রমাণ একটি ধাপে ধাপে পদ্ধতির মাধ্যমে ব্যাখ্যা করা হয়। এর উদ্দেশ্য হলো \( n \) সংখ্যক বার্ণেৌলি প্রচেষ্টার মধ্যে \( k \) বার সফলতা পাওয়ার সম্ভাবনার অপেক্ষক \( P(X = k) \) তৈরি করা।

ধাপ ১: বার্ণেৌলি প্রচেষ্টার বৈশিষ্ট্য

একটি বার্ণেৌলি প্রচেষ্টায়:

সফলতা (\( S \)): সফলতার সম্ভাবনা \( p \)।
ব্যর্থতা (\( F \)): ব্যর্থতার সম্ভাবনা \( q = 1 - p \)।

নির্দিষ্ট \( k \) বার সফলতা পাওয়ার সম্ভাবনা \( p^k \), এবং \( (n - k) \) বার ব্যর্থতার সম্ভাবনা \( (1-p)^{n-k} \)।

ধাপ ২: নির্দিষ্ট ক্রমে সফলতার সম্ভাবনা

ধরা যাক, \( n \) প্রচেষ্টায় \( k \) সফলতা নির্দিষ্ট ক্রমে ঘটেছে। উদাহরণস্বরূপ, \( SSSF \) এর সম্ভাবনা:

\[
P(SSSF) = p \cdot p \cdot p \cdot (1-p) = p^3 (1-p)^1
\]

এটি \( p^k (1-p)^{n-k} \)-এর সমান।

ধাপ ৩: বিভিন্ন ক্রমের মোট সম্ভাবনা

\( n \) প্রচেষ্টায় \( k \) সফলতার সম্ভাবনা শুধুমাত্র একটি নির্দিষ্ট ক্রম নয়, বরং সম্ভাব্য সব ক্রমের সমষ্টি।

এই সম্ভাব্য ক্রমগুলির সংখ্যা গণনা করতে কম্বিনেশন ব্যবহার করা হয়। \( n \)-এর মধ্যে \( k \) সফলতার ক্রম গণনার জন্য অপেক্ষক হলো:

\[
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}
\]

ধাপ ৪: দ্বিপদী বিন্যাসের মূল অপেক্ষক

তাহলে \( n \) বার প্রচেষ্টায় \( k \) সফলতা পাওয়ার মোট সম্ভাবনা \( P(X = k) \) হবে:

\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
\]

যেখানে:

\( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \): ক্রমের সংখ্যা।
\( p^k \): \( k \) বার সফলতার সম্ভাবনা।
\( (1-p)^{n-k} \): \( (n-k) \) বার ব্যর্থতার সম্ভাবনা।

ধাপ ৫: উদাহরণ দিয়ে ব্যাখ্যা

ধরা যাক, একটি মুদ্রা ৫ বার নিক্ষেপ করা হয়েছে (\( n = 5 \)), এবং \( p = 0.5 \)। আমরা \( k = 3 \) বার হেড (সফলতা) পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ধারণ করব:

\[
P(X = 3) = \binom{5}{3} (0.5)^3 (1-0.5)^{5-3}
\]

এখানে:

\( \binom{5}{3} = \frac{5!}{3! \cdot (5-3)!} = 10 \)।
\( (0.5)^3 = 0.125 \)।
\( (0.5)^2 = 0.25 \)।

তাহলে:

\[
P(X = 3) = 10 \cdot 0.125 \cdot 0.25 = 0.3125
\]

অর্থাৎ, ৫ বার নিক্ষেপে ৩ বার সফলতা পাওয়ার সম্ভাবনা ৩১.২৫%।

সারসংক্ষেপ

দ্বিপদী বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক উদ্ভাবন বার্ণেৌলি প্রচেষ্টা, কম্বিনেশন এবং সম্ভাবনার গুণনের ভিত্তিতে তৈরি। এটি \( P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \) আকারে প্রকাশিত হয় এবং বাস্তব জীবনের সমস্যা সমাধানে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।

Mark as Completed

Content added By

Sheikh Shakib Bin Shofiq

দ্বিপদী বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক উদ্ভাবন

দ্বিপদী বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক উদ্ভাবন